247. xy 平面上の曲線 y=x3 をCとする。 C上の2点A(-1, -1), B(1,1) をとる。さら に, C上で原点OとBの間に動点P(t, t°) (0 <t<1) をとる。 このとき、 次の問いに答 えよ。 (1) 直線 AP と x軸のなす角をαとし, 直線PBとx軸のなす角を とするとき tan tanβ を t を用いて表せ。ただし,O<a<O<B<Tとする。 (2) tan ∠APB を t を用いて表せ。 (3) ∠APB を最小にする tの値を求めよ。 [21 早稲田大・基幹理工, 創造理工, 先進理工]

2t ピ+ピ+2 +t

247 〈角の大きさを最小にする値> (1)(直線APの傾き) = tanα, (直線 BP の傾き)=tanß (2)∠APBをα,βを用いて表す。 正接の加法定理を利用する。 (1) 直線 AP の傾きは = ピー(-1) (t+1)(2-t+1) t-(-1) t+1 -=t2-t+1 よって tana=t2-t+1 直線 BP の傾きは t_1_(t-1)(t2+t+1) = t-1 =t2+t+1 t-1 よって tanβ=t2+t+1 (2) 直線 (2) 直線 BP において, Pに対してBと ay 1 7.B 反対側に点Cをとると ∠APC=β-α P +3 0 B よって ∠APB= ∠APC (x-g)-v= したがって t1 2 tan∠APB = tan (πー(β-α)) y=f(x)=-tan (β-α) tan β-tana = 1+tanatan B (t2+t+1)-(t-t+1) 1+(t-t+1)(t2+t+1) ト A -1/C = 2t t+t2+2