例題 234nや 1が書かれたカードが1枚, 2が書かれたカードが1枚, ★★★☆ nが書かれ たカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。 この組から1枚 を抜き出しもとに戻す操作を3回行う。 抜き出したカードに書かれた数を a, b, c とするとき,得点を次の規則 (i), (ii) にしたがって定める。 (i) a, b, c がすべて異なるとき, 得点は a, b, c のうちの最大でも最小 | でもない値とする。 (ii) a, b, c のうちに重複しているものがあるとき, 得点はその重複 た値とする。 1≦k≦n を満たすkに対して,得点がんとなる確率をPw とする。 (1)で表せ。 (2)が最大となるkをnで表せ。 具体的に考える 得点がんとなるのは? (一橋大) んのとり得る値の範囲を考える k≤ 思考プロセス 規則(i) 1 2 k-1 k |k+1| n 1枚 1枚 2 k-1 |k+1 .... n k, k ≤k≤ 規則(ii) 1枚 kkk ⇒□≦k≦ Action» nやんを含む確率は、その文字のとり得る値の範囲も考えよ 解 (1) カードの抜き出し方は通りあり、これらは同様に 確からしい。 (ア)規則 (i) で得点がんとなるとき 得点がんとなるのは次の3つの場合がある。 kが書かれたカードを1枚, kが書かれたカードを必 (14)S ず抜き出す。 抜き出し方は通り 1,2, ...,k-1が書かれたカードを1枚, k+1, k+2, ・・・, nが書かれたカードを1枚 抜き出し方は C 抜き出す場合である。 (k=2,3,..., n-1)k=1,n となることはな それぞれの値が,a, b, c のいずれかに対応するから, その場合の数は3!通りずつある。 よって,このようなカードの抜き出し方の総数は Cnk C×3!=6(k-1)(n-k) (通り) これは,k=1, nのときも成り立つ。 (イ)規則 () で2枚が重なり得点がんとなるとき んが書かれたカードを2枚 ん以外の数が書かれたカードを1枚 抜き出す場合である。 (k= 1, 2,...,n) んが, a, b c のいずれか2つに対応するから,その 場合の数は2通りずつある。 い。 k=1,nのときは0通り となり,k=1,mとなる ことはないから成り立つ といえる。 抜き出し方は 26

n よって,このようなカードの抜き出し方の総数は n-1 C1 ×3C2=3(n-1) (通り) (ウ)規則 (ii)で3枚が重なり得点がんとなるとき んが書かれたカードを3枚抜き出す場合である。 (k = 1, 2, ..., n) よって,このようなカードの抜き出し方の総数は 1通り (ア)~(ウ)より, k = 1, 2, ..., nにおいて pk = 6(k-1)(n-k)+3(n-1)+1 n³ -6k²+6(n+1)k-3n-2 a=b=c=kである。 n³ 3 (2)より る 6 (2) (1) Pk = -. Pr= 治を 常 23 {k-(n+1)k}- 3n+2 n³ 3 2次関数と見 6 n+1 = k 3n2-1 3 + n 2 2n³ 図で考える 特訓 んは自然数であるから nが奇数のときが最大となるkはh= nが偶数のときが最大となるkはk= n+1 2 n n 2 , 2 +1 nが奇数 n が偶数 n+1 k 2 221 n+1 2 7+1 k 6 仕上