演習問題 7 7 2次関数の最大・最小 (2) | 35 | [★★★] 制限時間 20分 0を原点とする座標平面上に, 点A (80) B (8,8) がある。 さらに, 線分 OB上に 点P(t,t) があり, 線分 OA上に点Q (t, 0) がある。 △OPQ と △ABP の面積の和をS とする。 ただし, 0<t<8 である。 ア (1)Sをtを用いて表すと, S= ピウ t+エオ] である。 0<t<8 であるから,Sはt=カのとき最小値 キクをとる。 (2) αを0<a<7 を満たす定数とし, a≦t≦q+1 におけるSの最大・最小について考 える。 (i) Sがt= で最小となるようなαの値の範囲は ケ コ である。 サ (ii) Sが t=αで最大となるようなαの値の範囲は0<a≦ である。 1 .10 8

演習問題 7 (1) S=△OPQ+△ABP B << 求める面積は図を描いて考える。 -8-(8-t) 一に一つ41+2+32 4t + エオ 32 =(1-4)²+24 A 0 t 8 x よって, 0 t<8において, Sは t4のとき最小値 キク24 をとる。 (2)(i) Sがt=4で最小となるのは, a≦4≦a+1 を満たすときである。 4≦a+1 より 3≦a であるから 3≤a≤4 これと 0<a<7の共通範囲から, 求めるαの値の範囲は << 基本 7 -1 << 基本 7 -3 3a4 (i) St=αで最大となるのは,ast≦a+1の中央の値α+- 4以下になるときである。 1 << 頂点の座標 (t=4) で最小となる 条件を求める。 が,軸の値 << 定義域の左端 (t=α) で最大となる 条件を求める。 7 すなわち a+≤4 よって asi サク これと 0<a<7の共通範囲から, 求めるαの値の範囲は <a (i) 最小 最大 t=at t=a: t=a+1 t=at=a+1 <<解法のポイント>> 2次関数の最大・最小の応用 (1)Sを基本形に直し, tの変域に注意しながらSの最小値を求める。 (2)練習問題7と同じように, 軸(t=4) と区間 ast≦a+1の位置関係を調 べる。 グラフは下に凸であるから ・最小値 軸が区間に含まれれば頂点の座標で最小 含まれなければ区間の両端のうち, 軸から近い方のt座標で最小 → (i)では頂点の座標で最小であるから, 軸が区間に含まれる 条件を求める。 ・最大値 区間の両端のうち,軸から遠い方の座標で最大 (ii) では区間の左端で最大となるから, 軸 (t=4) が aよりも +1に近いときの条件を求める。 3章 2次関数