円周上にn個の点 P1, P2,..., P, (n≥ 3) が等間隔に並んでいる。 点 x は最初 P にある。 x は1秒ごとに、 時計回りに隣の点へ確率 μ、 反時計回りに隣の点へ確 率 1-pで移動する。 1.2秒後に x が P, にある確率を求めよ。 2. k 秒後に X が P, にある確率を qk とする。 n = 3 のとき、 9k を求めよ。

2秒後に P, にあるのは、 1. P1 P2 P: 確率 px (1-p) → → 2.P→P→P: 確率 (1-p) xp よって、求める確率は p(1-p) + (1-p)p=2p(1-p)

n=3のとき、k秒後に P, にある確率を qk、 それ以外の P2, P3 にある確率の和 をk とする。 qk+rk =1である。 k + 1 秒後に P, にいるのは、k 秒後に P, にいて P, へ移動(確率 1-p)、また は P3にいて P, へ移動(確率 p)する場合である。 ここで、n=3 における P と P3 の対称性に着目する。 k 秒後に P2 にいる確率を yk、P3 にいる確率を k とすると、 qk+1 = (1-p)yk+pzk yk+1 = Pqk + (1-p)zk Zk+1 = (1-P)qk + pyk yk-Zk = ak とおくと、ak+1 = (1-P)zk+Pyk- (1-P)qk-Pyk ではなく、 yk+1 -Zk+1 = (2p-1)qk + (1-2p)yk + (2p-1)zk となり、 複雑化する。 しかしp = 1/2 のとき、yk=Zk 1-9k Zk = 4c-1-1/21+1/x-1-00 9k+1 = 9k+1 - 3 (ak - 11/13) より、9k 1 = qk となり、 2 = +