る。 座標,座 (1) 領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線 y=- 2 1 x+nで囲まれた三角形の周および 内部である。 457 yA n n- y=- (x=2n-2y) 直線 y=k(k=n, n-1,……………,0)上には, 基本 20,21 よって, 格子点の総数は =n2+2n+1 =(n+1) (個) (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ。 k=0 (2n-2k+1)=(2n-2.0+1)+(-2k+2n+1) k=1 =2n+1-2・1/13n(n+1)+(2n+1)n 1 0 1 2 2n-21 2n 1 2n-1 k=0 の値を別扱いにし たが、 -2k+(2n+1)1 k=0 --2-(n+1) k=0 +(2n+1)(n+1) でもよい。 章 3種々の数列 別解 線分x+2y=2n (0≦y≦n) 上の格子点 (0, n), (2-1), (2n, 0) の個数は n+1 YA -x+2y=2n n 2-2y 点が並ぶ 止める個数 4(0, 0), (2n, 0), (2n, n), (0, n) を頂点とする長方形の周 および内部にある格子点の個数は (2n+1)(n+1) ②の方針 X 長方形は, 対角線で2つ の合同な三角形に分けら 0 2n (n+1) 個 れる。 ゆえに、求める格子点の個数をNとすると 2N-(n+1)=(2n+1)(n+1) よって ( 求める格子点の数) ×2 - 対角線上の格子点の数) =(長方形の周および内 部にある格子点の数) よってN={(2n+1)(n+1)+(n+1)} Jei (AZ) =1212 (n+1)(2n+2)=(n+1)(個) (2)領域は,右図のように, y軸, 直線 y=n2, 放物線 y y=x2 y=x2 で囲まれた部分である (境界線を含む)。 直線x=(k=0, 1,2, ....... n) 上には, n² n2-1 (n-k2+1) 個の格子点が並ぶ。 n2+1 よって, 格子点の総数は 個 は nとお る。 練習 32 k=0 (n²-k²+1)=(n²-0²+1)+(n²+1-k²) 1 k=1 0 x = (n²+1)+(n²+1) 1-k² k=1 別解 長方形の周および内 =(n+1)+(n+1)n-1/n(n+1)(2n+1) 部にある格子点の個数 (n+1) (n+1) から領域 =(n+1)(4-n+6)(個) 外の個数を引く。 k=1 Ixy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。 (2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x² p.460 EX 21 (1)x0,y≧0, x+3y3n

重要 例題 32 格子点の個数 xy 平面において、 次の連立不等式の表す領域に含まれる 格子点(x座標, y 座 基本 20,21 標がともに整数である点) の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。 (1)x0,y,x+2y≦2nめよ。 (2) x≥0, y≤n², y=x² 指針 「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。 nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。 (1) n=1のとき n=3のとき 解答 y= 内部 直線 (2n- よっ k= n n=2のとき YA YA =x+2y=2.3 x+2y=2.2 30 x+2y=2.1 -20 2 -10 -16 x 12 x 2 3 4 x 0 12 4 5 6 n=1のとき 1+3=4, n=2のとき 1+3+5=9, n=3のとき 1+3+5+7=16 一般 (n) の場合については,境界の直線の方程式x+2y=2n から x=2n-2y よって, 直線 y=k(k=n, n-1,......, 0) 上には(n-2k+1) 個の格子点が並ぶ から (2n-2k+1)において,k=0,1, nとおいたものの総和が求める個数 となる。 ms) (2) n=1のとき n=2のとき)+1 In=3のとき y y=x2+ + y = x² + 2 y y=x2 【別解 [上] [] 4月 (0 お + a -9 [土 -4 -1- 0 n=1のとき L n=2のとき n=3のとき x OP 1 x -O (1-0+1)+(1-1+1)=3, SO (40+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10, (9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26 3. 一般 (n) の場合については, 直線x=k(k=0, 1, 2,...., n-1, n) 上には (n2+1)個の格子点が並ぶから,(n2-2+1)において,k=0, 1, ......, いたものの総和が求める個数となる。 nとお また、次のような、図形の対称性などを利用した別解も考えられる。 (1)の別解 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。 自 このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する (2)の別解 長方形上の格子点の個数から,領域外の個数を引いたものと考える。 E 30 以上から,本間の格子点の個数は,次のことがポイントとなる。 (S) 直線x=kまたはy=k上の格子点の個数をんで表し、加える。 2 図形の特徴 対称性など) を利用する。 (2) 練習 @32