目標解答時間 10分 71 難易度 ★★ 2次関数 f(x)=1/2x2+1 を考え、放物線 C:y=f(x)上に2点P(4t,f (4t)), ■関連する基本 Qt.f(t)) をとり、 2点P, Q における放物線Cの接線をそれぞれし, mとする。ただ し, t>0 とする。 ア 2直線lとが直交するときに であり,このとき 直線の方程式はウ XC I 直線の方程式はy オカ キ ク x+ ケ である。 さらに、 2直線の交点のx座標は である。また,このとき, 放物線C サ と2直線1mによって囲まれた図形のうち,x≧0を満たす部分の面積をSとすると [シスセ S= ソタチ である。 配点 10

71 放物線と2つの接線で囲まれた図形の面積 f'(x)=x だから、 2点P,Qにおける 接線の傾きは、それぞれ m 4t. -t である。 2直線が直交するとき Q 4t 41-(-1)=-1< A t > 0 であるから A 2直線が直 ⇒ (傾き 12 1= このとき,P(2.3).Q(-1.02) より、直線の方程式は y-3=2(x-2) 」2 すなわち y=2x-1 直線の方程式は (+) y 8 すなわち オカ 7 x+ 2 8 さらに、2直線の交点のx座標は 78 12 4 ここで2直線1mの交点をA, 2直線l my切片をそれぞれB, Cとす 2x-1=-x+ 2 を解いて x = ると 45 A ABC-1-(-1))-3-44 AABC=. 2 64 よって, 右の図より, 面積Sは S= ∫{(2x+1)-(2x-1)}dx-△ABC x²-2x+2)dx- =1/2x+2x1 -4+4- 45 64 45 64 B 45 64 m Point シスセ 121 ソタチ 192 78 SI C O -12 B 積分 P に分 が、 13-4 と言 C積 C 積 2 放物線の接線, 直交する 2直線といった基本的な事項を押さえ、放物線と2 本の接線の関係を図に適切に表すことが求められる。面積を求めるには,2 つの積分に分けて考えてもいいが,図から△ABCの面積を利用できること に気づくことがポイントであり,より面積が求めやすくなる。 - 86· を