1 太郎さんは逆関数をもつ回数f(x)に関する次の性質を学んだ。 y=f(x)のグラフとその逆関数 y=f(x) のグラフは、 直線 y=x に関して対称である。 そこで、太郎さんは、逆関数をもつ関数f(x)について 関 y=f(x) のグラフが直線 y=xに関して対称なとき、f(x)はどのよ うな性質をもつだろうか、と考えた。 次の問いに答えよ。 (1)分関数 y- ーメニムの逆関数を求めよ。また,そのグラフをかけ。 (2) 直線 y=x に関して対称なグラフをもつ1次関数を1つ求めよ。 また、その逆数を求めよ。 (1),(2)より太郎さんは,逆数をもつ f(x) について、次のことが 成り立つのではないかと考えた。 f(x) f'(x) 一致する 関数y=f(x) のグラフは直線 y=xに関して対称 (=) ただし、関数f(x)とg(x)が一致するとは,f(x)とg(x)の定義域が 一致し、その定義域のすべての値に対してf(a)=g(α) が成り立 つことである。 (3) () は正しいか。 正しい場合は証明し、正しくない場合は反例と なる関数を1つあげよ。

(3) 正しい () 関数 f(x) f'(x)が一致するとす る。 点 (a, b) を関数 y=f(x) のグラフ上の点 であるとすると b=f(a) このとき、関数 y=f(x) の逆関数 f-1(x) について a=f-¹(b) ここで, 関数 f(x) f'(x)が一致するこ とから f(b)=f(b) ゆえに a=f(b) よって,点(a, b) が関数 y=f(x) のグラフ 上の点であるとき, 点 (b, α) も関数 y=f(x) のグラフ上の点である。 点 (a, b) と点(b, α) は直線 y=x に関して 対称であるから, 関数 y=f(x) のグラフは 直線 y=x に関して対称である。 (←) 関数 y=f(x) のグラフは直線 y=x に関して対称であるとする。 このとき,点 (a, b) が関数 y=f(x) のグラ フ上の点であるとすると、 点(b, α) も関数 y=f(x) のグラフ上の点である。 よって, b=f(α) ならば a=f(b) が成り立 つ。 ここで, 関数 f(x)の定義域の任意の値αに 対して, b=f(α) を満たす6が値域に存在 する。 このとき, a=f(b) が成り立つことから, α は値域の値でもある。 また関数 f(x) の値域の任意の値に対し て, b=f(α) を満たすα が定義域に存在す る。 このとき, a=f(b) が成り立つことから, は定義域の値でもある。 よって, 関数 y=f(x)の定義域と値域は値 の範囲として一致する。 したがって, 関数f(x) f(x)の定義域 は一致する。 また、定義域の任意の値 αについて b=f(a), a=f(b) a=f(b)より, 関数y=f(x) の逆関数 f(x) について b=f-¹(a) b=f(a), b=f-l(α) から, 定義域の任意の 値αについて f(a)=f(a) 以上より, 関数 f(x) f(x)の定義域が 一致し、その定義域のすべての値αに対して