問題 74 2次関数f(x)=-x2+2x+3 (a≦x≦a+1) について (1) 最大値 M (a) をαの式で表せ。 (2) 最小値m(a) をαの式で表せ。 (3)M(a)m(a) = 4 となるようなαの値を求めよ。 f(x)=-x+2x+3= -(x-1)+4 (1) (ア) a +1 < 1 すなわち a < 0 のとき 大 軸は区間の右にあるから, f(x) は x = a +1 のとき最大となる。 3 よって M(a) = f(a+1) = -a² +4 (イ)a≦1≦a+1 すなわち 0≦a≦1のとき 軸は区間内にあるから, f (x) は x=1のとき 最大となる。 170x ja la+1 軸が区間内にあるかど かで場合分けをする。 f(x) は区間内で増加 るから f(a) <f(a+1) 0000 4 頂点で最大となる。 3 830401 よってM(a)=f(1) = 4 a+1 x

(1)(2) (ア) a < 0 のとき -a2+4 11/12 <a のとき M(a)-m(a) = -a² +4-(-a²+2a+3) = -2a+1 M(a)-m(a) =4 となるとき -2a+1=4 3 よって a - 2 これは,a < 0 を満たす。 (イ) O≦a≦ 1/12 のとき M(a)-m(a)=4-(-α+2a+3) = a² - 2a+1

Ko≦a≦1 において M(a)=4,m(a)>0 より M(a)-m(a) <4 M(a)m(a) = 4 となるとき a²-2a+1=4 α2-24-3=0 より (a+1) (a-3)=0 よって a = -1, 3 (a)\ これらはO≦a≦ 1/2 を満たさないから、不適。 (ウ)/< <a≦1のとき 4+4 M(a)-m(a) = 4− (−a² + 4) = a² 512020) M(a)-m(a) = 4 となるとき a² = 4 よって a = ±2 これらは1/12/ ・<a ≦1 を満たさないから, 不適。 (エ) 1 <α のとき M(a)-m(a) = -a²+2a+3-(-a²+4) = 2a-1 M(a)-m(a) = 4 となるとき 2a-14 5 よって a= 2 これは, α > 1 を満たす。 (ア)~(エ)より、求めるαの値は a: || 3 2 5-2