練習問題 中 (1) 曲線 y=tanx とx軸および x=- π で囲まれる部分を、軸のまわ 4 りに1回転してできる立体の体積を求めよ. 20≦x≦1において,曲線 y=x2 と曲線y=√で囲まれる部分を, x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ. (3)曲線 y=e* とy軸およびy=eで囲まれる部分を、y軸のまわりに 1回転してできる立体の体積を求めよ.

10 (3) y=ex=logy 1≦y≦e において, (0, y, 0) 通り,y軸 ル YA e | y = e² I x=logy に垂直な平面で回転体を切る . y 断面は半径10gyの円になり,その面積は logy л(logy)² 求める体積は (logy)² dy =[y (logy)-2ylogy+2y], ={(e-2e+2e)-(0-0+2)} =л(e-2) Ology (logy) (logy)² dy = fy' (logy)² dy =y (logy)²-x+2(logy) dy =y(logy)²-2/logydy =y(logy)-2(ylogy-y)+C =y(logy)2-2ylogy+2y+C

応用問題 2 曲線 y=COS 283 TE 2 と,x軸, y 軸で囲まれた部分をDとす Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ. 精講 回転軸が軸なので、yで積分しなければならないところですが、 xyの式で表すことは難しそうです。そのときは、置換積分でæ での積分にうまく切り替えてしまえばいいのです. 48 解答 求める体積は この計算 Snx²dy= x²dy =π がしたい 1 0 y=cosr での積分をェでの積分に置換する. xy の式で表 匹2 x²dy すことが 0 X 置換 y=cosx より dy dx ={(0+x+0)-(0+0+2)} =π 0 dy x 2 dx dx =7√x²(—sinx) dx -*f*r*sin.rdr 2 Sr'sinrdr =fr'(-cos.r)' dr -[-r'cos.r+2rsinz+2cos.r] --'cosr+f2rcos.zdr = できない 断面積 TT2 y 20 → 1 13 (1) π =-sinx →0 =-xcosx+2fr(sin.z)'d =π(π-2) コメント 本来計算したい式を書き, それを =-xcosx+2(rsin.x-fsinrdr) == ecosx+2xsinx+2cosx+C