f(x)=kの実数解は、y=f(x)のグラフとy=kのグラフとの交点のx座標である、ということを利用するのがポイントです。
f(x)=kとなる、ということはf(x)においてxにある値を代入した時の、f(x)の値がkになる、ということと同じであることが分かればいいと思います。
例えばf(x)=0の解が、f(x)のxにある値を代入したらf(x)の値が0になる、ということを利用して、y=f(x)とy=0(x軸)の交点のx座標がそれと等しいことが挙げられると思います。
それを考慮すると、y=f(x)とy=kとの交点のx座標が三つあり、かつその全てが正であるようなkを定めれば良いので、グラフを参考にして答えは
7<k<14
となります。