この問題で、なぜ6で割った余りを考えるのか、分かりません。また、問題からどうやってその判断をするか、数字の違う他の問題になった時の対処方法を教えて貰えると嬉しいです。
✨ ベストアンサー ✨
12で割ったときの余りで分類するのが自然ですが、
12通りの場合分けをするので大変です
mで割ったときの余りで分類するとすれば、
p=mk+r (r=0,1,2,…,r-1)とおくことになります
p² = (mk+r)² = m(m+2r)k +r²です
このm(m+2r)のところに12（の倍数）が出てくれば、
p²を12で割った余りの議論ができます
m=12(,24,36,…)でもいいですが、
m=6でもOKなので、6にします
m=1〜5では12が出てきません
そんなに厳密に考えなくても、
類問の経験でいけませんか？
教科書等の基本問題にも、
同様の話がありそうです
平方数を4で割った余りは？ とか…
平方する前の自然数nを、
2で割った余りで分類するわけですね
4で割った余りで分類するのは面倒です
こういう基本の経験があると、
特に自然な話かと思います
少し簡単に書き換えると、以下のようになっています。
（6を使った理由は後述します）
pは以下のように表すことができる。
k≧1とすると、
p=6k-1、p=6k、p=6k+1、p=6k+2、p=6k+3、p=6k+4
（p≧5以上にするために少し工夫・・・p=6k-1）
p=6k-1、p=6k、p=6k+1、p=2(3k+1)、p=3(2k+1)、p=2(3k+2)であるから、
6k、2(3k+1)、3(2k+1)、2(3k+2)は素数ではないため、これはpではない。
よって、p=6k-1、p=6k+1の2通りで表される。
このときp²は、36k²-12k+1、36k²+12k+1であり、
（36k²-12k+1=12(3k²-k)+1、36k²+12k+1=12(3k²+k)+1 ）
p²を12で割ると1余る。
＜6を使った理由＞
p=12k、12k+1、12k+2、…、12k+11 としても大して大変ではないので解いてみて下さい。、
最初に素数ではないものを除外するとよいです。例：P≠12k+2=2(6k+1)…素数ではない。
また、k=0は注意が必要(p≧5なので)
p=6k、6k+1、6k+2、…、6k+5 のようにする方が、
少しだけ省力化できることが分かると思いますが、
私はp=12k、12k+1、12k+2、…、12k+11で考えると思います。
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