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f(x)=x/√1-x^2の微分可能な定義域は-1<x<1よりx=sinΘをおくとΘの範囲は-π/2<Θ<π/2
dx=cosΘdΘ
-π/2<Θ<π/2より0<cosΘ<1
√1-x^2=√1-sinΘ^2=ΙcosΘΙ=cosΘ
∫x/√1-x^2dx
=∫sinΘ/cosΘ×cosΘdΘ
=∫sinΘdΘ
=-cosΘ+C
=-√1-sinΘ^2+C
=-√1-x^2+C
①Θがxと一対一対応する(x=sinΘが単調変化するΘの範囲)
②Θがxの範囲を全てカバーできる
③cosΘ>0になる
これら3点からこの範囲を使っています。
仮にπ/2<θ<3π/2とおいた場合、cosΘ<0かつ逆から積分するため、-1×-1をかけることになります。答え自体は同じです。
0<θ<2πの場合、sinΘが単調に増加しないため不定積分の形では出すのが難しいと思います。
理解出来ました！！！
助かります🙏 ありがとうございました🙇🏻♀️
回答ありがとうございます🙇🏻♀️✨️
範囲が0≦θ<2πではなく-π/2<θ<π/2になるのはなぜでしょうか？
お願いいたします🙏