3 1/2x+2ax-a°+4匹... ① がある。 ①の0≦x≦1における最小値をm (a), 2次関数y=- 最大値をM (a) とする。 ただし, aは定数とする。 ス = 2次関数 標準 応用 (1) ①のグラフの軸の方程式を求めよ。 (2) m (a)を求めよ。 また, m (a) の最大値とそのときのαの値を求めよ。 (3)M (a) を求めよ。 また, M(a) =2となるときのαの値を求めよ。 応用 2

(4) y = x + 2x +2a =(x+1)2 +2a-1より、グラフは下の図のよ うになるので,x=1のとき最大値+3を とる。 yt 2a+3 a1のとき m (a) = −— a² + 6a −=− (a²- 6a) - 17 =-(4-3)2 +- 数学 m(a)=-a²+4a=-(a² - 4a) よって, 2a +3=9 したがって, a=3 このとき 2a a とき 2a-1 y=(x+1)^+5 となるので 最小値は5 T -2-1 01 x おくと, 3 ら (5)y=x2-(a-1)x +4のグラフがx軸と接する とき {-(a-1)}2-4・1・4= 0 α-2a-15=0 (a +3) (a-5)=0 よって a=-3,5 =-(a-2)^+4 したがって,b=m (a) のグラフは下のように なる。 ba 17 , 3 3 (1) 1 y=- x²+2ax-a²+4a =-1/1/(x-4ax)-α+4a =-1/2 (x-2a)+a2+4c (0) O. 2 3 4 →a Em (a), S よって、①のグラフの軸の方程式は、x=2a である。 Ori (2) (1)より軸の方程式はx=2α, xの定義域は 0≦x≦1だから,最小値m(a)は2aとの大小 で場合分けをして考えればよい。 (i) 2a 1/2 すなわち b=m(a) よって、グラフより, m (α) が最大となるのは, a=2のときで,このときm (a) の最大値は4で ある。 (3)(1)より,①の軸の方程式はx=2a, xの定義 域は0≦x≦1であるから 24と0,1の大小で 場合分けをして考えればよい。 (i) 2a < 0 すなわち kal YA Ay 0=aa<0のとき, a2+4a 2a O -a²+4a. 200 yはx=0のとき x a<1/1のとき, a2+4a yはx=1のとき I 99 最大となるので -a2+4a O 2a 1x 最小となるので na-a²+6a- 1 009 y-a2+6a- a2+4a M (a) = -a² +4a (ii) 0≤2a≤15 YA a2+4a -a2+4a. ≦a≦1のとき (Sa²+6a- yはx=2のとき 最大となるので 2: 0 2a 1 m(a)=-a2+6a-12 1 (ii) 2a≥ 2 すなわち HA 4/1のとき、 -a2+4a. yはx=0のとき 最小となるので O 12a1 xx m(a)=-α+4a 12 M (a) = a²+4a (i) 2a>1 すなわち a1/21のとき、 y a²+4a 1+a²+6a-127 -a²+4a O 1 2a 13

129 2a21のとき ←0のほうが小さいので azのとき m(a)=-a+4a なぜこうではない?