141. △ABCは,AB=5, AC=4で, AB を直径とする円に内接している. この円の点Cにおける接線と AB の延長線との交点をPとするとき,線分 CPの長さを求めよ. HA東京電機大)

か ス 線分 CP, BP の長さを順にx,yとおく. 線分AB は円の直径であるから、円周角の 定理より, ∠ACB=90° したがって, 三平方の定理より、 BC=√AB2-AC2 =√52-42 =3 x 3 B A 5 y P ここで,三角形 PCB と三角形 PACにおいて 接弦定理より,∠PCB= ∠PAC ∠BPC と ∠ CPA は共通 801 よって,二角相等で三角形 PCB と三角形 PAC は相似であるから, CP BC BP == AP CA CP すなわち, x 3 = 5+y 4 したがって, x 4x=3(y+5)かつ3x=4y であるから, x= 60 45 よって、線分 CP の長さは, 60