B く *(1) nが自然数のとき 12+2+32 ++<カナロア 263 次の不等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。 *2)が3以上の自然数のとき3">5n+1 (3)ni 3 が自然数,060 のとき(a+b)

248 サクシード 学 よって、 +1のときにも成り立つ。 (2)から、すべて については り立つ。 2 と仮定する。 262 (1) すべてについて。 次の事 を証明すればよい。 ②から ①がり立つ、すなわち、 +1のとき、①の両辺の蓋を考えると、 く (4+2)5 ① 3 1 (+2) 3 (+1)* 13 [2] 「2月3月4月はもの倍数である」 1のとき 2月~3月"+m=2-3+1=0 よって、①は成り立つ。 ①が成り立つと仮定すると、 のとき、 を整数として 2-3+k=6m と表される。 n=k+1のときを考えると 24+1)-3(+1)+(k+1) 20k+3+3k+1)-30k+2k + 1) + (k+1) 2k+3k+k=2k3k+k)+6k =6+6k=6(m+k² +k は整数であるから, 2k+1)-3(k+1)+(k+1)は6の倍数とな る。 よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数について①は 成り立つ。 ゆえに 3+9+7 1+10 -(2+2+1 1ª + 2ª +------+ * * + ( k + 1 ) ³ <+ よって、+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2]から すべての自然数については 成り立つ。 (2)35+1 とする。 [1] =3のとき (左辺 =3327. (右辺)=5.3+1=16 よって,①は成り立つ。 [2] k3 として、n=kのとき①が成り立つ、 すなわち 3 >5k+1 ...... ②と仮定する。 =k+1のとき、①の両辺の差を考えると、 ②から 3A+1_(5(k+1)+1)=3.3 -5k-6 今から 26 (2) 23-3n+” = n(2n-3n+1) =n(n-1)(2n-1) =(n-1)(n-2)+(n+1)) =(-2)(n-1)n+(n-1)n(n+1) 連続する3個の整数の積は6の倍数であるから, (n-2(n-1)n(n-1)n(n+1)は6の倍数であ る。 よって23n+nは6の倍数である。 263 (1) 122+32 +... +n° < (n+1)³ 3 とする。 [1] n=1のとき (左辺) =12=1, 0 ① >3(5k+1)-5k-6 =10k-3 3のとき、10k-30であるから 3+1>5(k+1)+1 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについ て①は成り立つ。 a"+b". (3) a+b² (a+b)" 2 [1] n=1のとき (左辺): 2 ・・① とする。 =a+b(右辺)= よって, ①は成り立つ。 1) = a + b [2] n=kのとき,①が成り立つ,すなわち (1+1)3 8 (右辺)= 3 よって、 ①は成り立つ。 a+bk 2 と仮定する。 a+b ②