254 平面上にn個の円があり,それらのどの2つも異なる2点で交 わり,また,どの3つも1点で交わらない。これらのn個の円が 平面を α 個の部分に分けるとき, annの式で表せ。 →③

成り 254 26 個の円が平面を個の部分に分けているとき、 新たに(+1)個目の円をかくと 分がいくつ増加するか考える。 された部 数学問題演習問題 1個の円は平面を2個の部分に分けるから a₁=2 個の円が平面を個の部分に分けている。 (n+1)個目の円C.. をかくと, C.. はぁの 円と2個の点で交わる。 これらの交点でC.. は2月の円弧に分かれ、 これが新しい境界になるから、分割された部分 は2個増加する。 ゆえに an+man+2n よって、数列 (an)の階差数列の頃は 2月 したがって, "22のとき a=a₁+2=2+2-(-D 41=2であるから,①は"=1のときにも成り 立つ。 よって a=n²-n+2

254 an n=1 h=3- 7:4 ② → 8 hzz bn+2 h-( +4 +6 2x2 an=2+22k 1:1 = 2 + 2 + 5 h (n - 1) =2th(n-1) = n² _h + 2 "D aに)なのでのはこのときなりた