(x-1)(x+x+1)=(x-1)Q(x)+ax²+x+ x³-1 = 0 a 1742 X=1, W., W₂ EX co P(x)=(x-1)(x+x+1) とする。.nは3で割って1余る数 でx2+x+10の再年はWW2 # T=. W., W2 12x³-1=0^1} もあることより ①の式から因数定理より 0=a+b+c 2 ○=aw²+bwitc a=b=c=0

13. A 3で割った余りが1となる自然数nに対し, (x-1)(x3n-1)(x-1)(x-1) で割り切 れることを証明せよ。 [18 慶応大理工]

13 〈1の3乗根を利用する割り算の証明問題〉 x2+x+1で割り切れることを示すには, 方程式 x2+x+1=0の解の1つである、その共 役複素数について成り立つ次の性質を利用する。 とは1の3乗根であり ω=1.ω'+w+1=0 (ω=1, (ω) +w+1=0 (x-1)(x3n-1)=(x-1)(x-1)(x2n+x+1) 28 (x-1)(x-1)=(x-1)(x²+x+1)(x-1) よって, x2n+x" +1がx2+x+1で割り切れることを示せばよい。 ここで, x2+x+1=0 の両辺にx-1 を掛けると (x-1)(x2+x+1)= 0 すなわち x3=1 よって、1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをωとおくと, w=1, w2tw+1 = 0 である。 > ◆x3-1=(x)-1 =(x"-1){(x")2+x"+1} また, の共役複素数も方程式 x2+x+1=0の解であるから, x2+x+1=(x-w) (x-ω) と因数分解できる。 ここで,f(x)=x2"+x"+1 とおくと f(w)=w2n+wn+1 O nは3で割った余りが1となる自然数であるから, k0以上の整数 とすると, n=3k+1 とおける。 よって f(w)=2(3k+1)+w3k+1+1=(ω3)2kw²+(3)w+1 =ω'+w+1=0 また,同様にして,f(w) = 0 も成り立つから,x2n+x "+1は xw) (xw) すなわち x2+x+1で割り切れる。 したがって,3で割った余りが1となる自然数nに対し (x-1)(x-1) は (x-1)(x-1) で割り切れる。 BALY コール 3=1 を代入。 tw²+w+1=0 を代入。 $300-4 (1)