その理由がよく分からないです。

これでどうでしょうか

青線の部分がどうして範囲外になるのかと傾きの話がよく理解できないです。
お手数お掛けして申し訳ないです

かなりきわどいところなので、時間をいただき、グラフ作成ツールで書きました。拡大図が写真です。

青…(x-2)²+y²＝4
赤…x²+(y+1)²＝1
ピンク…y=-x-4/5
紫…y＝-x+2-2√2
のグラフです。

問題の再確認ですが、
そもそも、ずんだもちさんの最初の2枚目の写真の一番下のグラフで、灰色の部分が(1)の連立不等式の表す領域です。
この領域内をx+y＝k　→　y＝-x+k　この直線が通るとき、共有点を持つことになります。
kが最大となるときの直線は、①円の上側の方で接する直線であることは良いでしょうか。

kが最小になるときですが、今回提示した写真を見ていただくと、ピンクの直線は点Aを通る直線であり、紫の直線は円と接する直線になります。
微妙ですが、円と接する直線の接点は、今回の範囲の対象外になります。

いかがでしょうか。

本当に申し訳ないのですが解説の傾きの部分を教えて欲しいです。

(2)の問題に、
直線　x+y＝k　が(1)の領域と共有点を持つための…
とありますので、
x+y＝k　を
y＝-x+k
としたので、直線の傾きは-1になります。

この部分で良いですかね。

この画像の青線の部分です。

ようやく不明点がわかりました。こちらが理解できていませんでしたすみません。

Aを通る、円①の接線の傾きは-3/4
問題の直線の傾きは-1

円①のOとAの間にある点での接線を考えると、点Aでの接線よりも傾きは(-3/4より)小さくなりませんか？

新たに掲載した写真の赤が傾き-3/4，緑や青は傾き-3/4より小さい直線です。

だから、傾き-1の接線は、点Oと点Aとの間にあることがわかるんで、kの最小値は円①の接線ではなく、点Aを通るだけの直線になるというわけです。

文字だけの説明だと伝わりづらいのは申し訳ないですが、いかがでしょうか。

理解できました。丁寧に解説していただきありがとうございます。
最後に質問があって、この模範解答のように傾きが−1と−3/4についての部分って書かないと原点対象になりますか？（初めから点Aを通る時にkは最小値を取ると書いても良いのですか？）

遅れてすみません。
減点になるかと言われれば、
定期テストなら先生によっては(ほんとにわかってんのか？？的な意味で)減点されるかもしれませんが、入試では減点されることはないかと思います。