390 要 例題 28 格子点の個数 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y) ある点)の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。 (1) x≥0, y≥0, x+2y≤2n HART & SOLUTION 格子点の個数 直線x=k または y=k上の格子点を求め加える 「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。 (2) x≥0, y≤n², y=x² 座標がともに整数で 00000 領域は、右の図の赤く塗った三角形の周お よび内部である。 基本16 0 よって、格子点の総数は 直線 y=k (k=n, n-1, ······, 0) 上には, -2h+1)個の格子点が並ぶ。 yon n 月-1 と A-0 なぜ2つの交点が (2n-2k+1)=(2n-2.0+1) yok熱点の座 k (x-2n-2y) -2k+2 x= +(-2k+2n+1) k=1 具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。 (1) n=1のとき n=2のとき n=3のとき y y y x+2y=2.3 x+2y=2・2 3 -x+2y=2.1 -23 2 -16 -10 x x 0 4 O 123 56 n=1のとき 1+3=4. n=2のとき 1+3+5=9, 12 n=3 のとき 1+3+5+7=16 一般 (n) の場合については、境界の直線の方程式x+2y=2nからx=2n2y よって, 直線 y=k (k=n,n-1, ......, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、 (2n-2k+1)において,k=0, 1, ..., nとおいたものの総和が求める個数となる。 (2) n=1のとき 0 -y n=2のとき -y n=1のとき (1−0+1)+(1-1+1)=3, n=2のとき n=3のとき -9- . . -4 (8--1 O (4-0+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10, n=3 のとき (9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26 一般(n)の場合については, 直線x=k (k=0, 1, 2,......,n-1, n)上には ( 1)個の格子点が並ぶから、(ガード+1)において、k=0.1 ものの総和が求める個数となる。 の また、次のような、 図形の対称性などを利用した別解も考えられる。 三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。 このとき、対角線上の格子点の 0 12 2n-21 2n 2n-2k 2n-1 =0.12-26+2" (-2+2) k=0 の値を別扱いした が、 =2n+1-2.11n(n+1)+(2n+1)-22-22 +(2n+1) =n2+2n+1=(n+1)2(個) 線分 x+2y=2n (0≦y≦n) 上の格子点(0, n), (2,n-1), 別解 (20)の個数はn+1 4(0, 0), (2n, 0), (2n, n), (0, n) を頂点とする長方形の周お YA x+2y=2n n 0 2月 (1)個 よび内部にある格子点の個数は (2n+1) (n+1) ゆえに、求める格子点の個数を Nとすると 2N-(n+1)=(2n+1) (n+1) ...... ( =-2(n+1) A-0 39 +(2n+1)(n+1) でもよい。 (*) 長方形は, 対角線で 2つの合同な三角形に分け られる。 よって (求める格子点の数)×2 (対角線上の格子点の数) =(長方形の周および内 部にある格子点の数) 1=1/2((2n+1)(n+1)+(n+1)=1/2(n+1)(2n+2)=(n+1) (個) よって N=- (2)領域は,右の図の赤く塗った部分の周および内部であ 直線x=(k=0, 1, 2,......,n-1, n) 上には, 221) 個の格子点が並ぶ。 よって, 格子点の総数は k=0 (k+1)=(n2-02+1)+2(n2+1-k) nとおいた PRACTICE k=1 =(n²+1)+(n²+1) 1-k² =(n²+1)+(n+1)n-n(n+1)(2n+1) y n² n2-1 n2-2 k2 . k=1 k=1 0 21 別解 長方形の周およ 部にある格子点の個数 (n+1) (n+1)から、 =(n+1)(n+1)-1/n(n+1)(2n+1) =1/21 (n+1){6(n+1)-z(2n+1)} = (n+1)(4n²-n+6) (11) 外の個数を引く