実数を係数とするn次方程式が虚数解を持てば、それと共役な虚数もその方程式の解です。今は3次方程式を考えているのですから、もし虚数解があったら、取りもなおさず実数解が一つしかないことになり、題意に反します。つまり本問の方程式の解は全て実数ということになります。
じつは本問の方程式はx=-2を解に持ちます(何故それが分かるか？)故に方程式は(x+2)を因数に持ちます。あとは残りの2次方程式がx=-2を解に持つときともたないときを考えます。質問はどうぞ。