このaroundは副詞で、辞書では画像のように説明されています。

構文をきっちりとって五文型を判断する訓練をある程度積んだ方なら
副詞が補語になれるの？
という疑問が生じるかもしれません。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/4025527.html

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13165322188

aroundのように前置詞にも副詞にもなるような単語は、単独で補語として機能する場合があります。
また、前置詞+名詞 のフレーズも、
be動詞などの後ろについて、
副詞句ではなく補語になる場合があります。

前置詞句がわかりやすいので
たとえば
①I'm in love.(私は恋をしている)
このin love は補語と判断します

②I'm in the restaurant.(私はレストランにいる)
このin the restaurantは副詞句と判断します

何が違うのかというと、
②は空間的な位置関係を表しています
①はそうではなくて、主語の"状態"を説明しています

前置詞句や副詞が補語になるというとき、
どういう場合に補語になって
どういう場合にならないのか
この判断が重要だと思うのですが
それはこの①②の違いにあると思います。
in〜 という表現だけでなく、他の場合でもです。

aroundも、
空間的な位置関係を説明する場合は副詞と判断します。「ぐるぐる回ってる」とか「何かの周りにいる」とか、
そういうニュアンスが読み取れる場合は副詞。
空間的な表現を超えてもう少し抽象的な使い方をして、
主語の状態を表している場合は、補語
と理解しておけばいいと思います。
今回のaroundは「存在している」という"状態"を表している（少しわかりずらいけど）ので補語。

品詞や構文を整理して文型を取っていく作業を「英文解釈」と言いますが
解釈の仕方は実は一つではないんです。

フレーズの意味を全く考えずに、あくまで品詞に沿って分類していくならば
今回のaroundはどういう意味であっても副詞なんだから副詞だ、補語ではない
ということになりますし、
それはどの副詞でも同じことなので
副詞は絶対補語にはならない　と言えることになる。
人によっては、この方法を採用している人もいるかもしれません。それでも誤りではありません。

個人的には、
英文解釈って、その英文の意味を理解するためにやることだと思うんです。
であれば、
この形だからこういう意味になる
こういう意味だからこういう形になる
というふうに、
意味と形（語順や文型）が正しく対応している方が望ましいと思う。
なので、意味を加味しながら解釈していく方が良いかなと思います。
今回の画像の参考書もこの立場なんだと思います。
ただ、その分解釈はややこしくなるけれど。。。

意味を加味するか
形（品詞や語順）だけから解釈するか
っていうのは
いろんなところでぶち当たると思います
たとえば
I think that〜　のthat節は名詞節。
では
I'm sure that 〜　のthat節は名詞節？副詞節？
とか。