121 324 2つの方程式 x3+6x+20=0,x2-2x+α= 0 が次の条件を満たすように、定数αの値を定め (1) 2つの解を共有する。 A-676-2 49 8=0.03 180(火 (2) ただ1つの解を共有する。

羊と係数の関係」 次のように解くこともできる。 方程式の係数は実数であるから, 2+38 複素数 2-3iも解である。 もう1つの解を すると,解と係数の関係により p+ (2+3i)+(2-3i)=5 (2+3ip+(2-3i)+(2+3i)2-3) (2+3i)(2-3i)p=-b (1) ①,②が2つの解を共有するとき,その共有 1+3i する解は ②が1±3iを解にもつとき,解と係数の関係か (1+3i)(1-3i)=a ら よって a=10 このとき②はx²-2x+10=0 となり、確かに 1 ±3i を解にもつ。 (2) ①,② がただ1つの解を共有するとき,その -2 共有する解は それぞれ整理すると p+4=5, 4p+13=a, 13p = - b ②が2を解にもつとき これを解いて p=1,a=17,b=-13 したがって,他の解は (−22−2(-2)+a=0 1, 2-3i よって a=-8 323 x3-3x2+(a-4)x+a このとき②はx²-2x-8=0 で, その解は 2,4となり,条件を満たす。 =(x+1)a+x3-3x²-4x 325 解と係数の関係から =(x+1)a+x(x2-3x-4) =(x+1)a+x(x+1)(x-4) a+β+r=4, aβr=-8 =(x+1){a+x(x-4)} =(x+1)(x2-4x+α) よって, 方程式は (x+1)(x2_4x+α)=0 ... ( ゆえに x+1=0 または x2-4x+a=0 ...... 2 1 1 1 aβ+Br+ra -5 5 (1) + ・+ (2) a2+2+2=(a+β+r)2-2(a+βr+ra) (3) 3+3+3 aβ+βr+ra=-5, == -8 8 =42-2.(-5)=26 =++r)(2+2+r-aβ-βr-ra)+3aßr =4{26-(-5)}+3(-8)=124-24=100 ①が2重解をもつのは,次の[1][2]の の場合である。 [1] ② の1つの解が−1で,他の解が! ②が1を解にもつから よって (−1)2-4(−1)+a=0 a=-5 このとき②は (x+1)(x-5)=0 ゆえに,解はx=-1, 5となり適する。 [2]②が1以外の重解をもつ。 ②の判別式をDとすると,D=0が成り すなわち (-4) -4.1.a=0 (4) a +8+4 =(a2+2+r2)2-2(a232+B2x2+rza²) ここで a2B2+B2x2+2a2 =(aβ+βr+ra)2-2(aβ・βr+βrra+ra aβ) =(aβ+βr+ra)2-2aβr(a+β+r) =(-5)2-2-(-8)-4=89 よって α^+B'+y^=262-2・89 =676-178=498 別解 α-402-5α+8=0, β3-482-5β+8=0, 3-42-5y+8=0であるから a3=4a2+5a-8,33=432+5β-8, 3=42+5r-8 よって a=4 このとき②の重解は x=- 2.1 =2(適する) [1], [2] から求めるαの値は 324 x +6x+20=0 x²-2x+α=0 ①の左辺をP(x) とすると P(-2)=0 P(x) を x+2で割って因数分解すると P(x)=(x+2)(x-2x+10) よって, ①は ゆえに、①の解は (x+2)(x²-2x+10)=0 x=2,131 よって ++ =α(4x²+5a-8)+β (4β2+5β-8) +r(42+5-8) =4(3+3+y3)+5(x²+B2+2)-8(a+β+r) =4.100+5.26-8.4=498 (5)x-4x2-5x+8=0の3つの解がα, B, rで あるから 3-4x2-5x+8=(x-α)(x-3)(x-r)