64 第3章 図形と計量 *11 三角形は,与えられた辺の長さや角の大きさの条件によって, ただ一通りに決まる 場合や二通りに決まる場合がある。以下,△ABC において AB=4 とする。 (1) AC=6,cos<BAC= とする。 このとき, BC=ア であり, △ABCはただ 一通りに決まる。 (2) sin/BAC= 1/12 とする。このとき, BC の長さのとり得る値の範囲は,点Bと直 3 嵐 イ 線 ACとの距離を考えることにより, BC≧ ウ である。 BC= イ ウ またはBC=エ のとき,△ABC はただ一通りに決まる。 また,∠ABC=90°のとき, BC=√オ である。 したがって,△ABCの形状について,次のことが成り立つ。 イ ウ <BC<オ のとき,△ABC は •BC=√オ のとき, △ABCは •BC > オ かつ BC≠ I のとき,△ABCはク ク の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) Gaia ⑩ただ一通りに決まり,それは鋭角三角形である ① ただ一通りに決まり,それは直角三角形である ②ただ一通りに決まり, それは鈍角三角形である 建 ③二通りに決まり,それらはともに鋭角三角形である ④二通りに決まり、 それらは鋭角三角形と直角三角形である ⑤二通りに決まり,それらは鋭角三角形と鈍角三角形である ⑥二通りに決まり,それらはともに直角三角形である ⑦二通りに決まり,それらは直角三角形と鈍角三角形である ⑧ 二通りに決まり,それらはともに鈍角三角形である -BAD [22 共通テスト

BAC <90°より, cos<BAC>0であるから cos <BAC= 8 2√2 ✓ - 25 9 第3章 図形と計量 41 3 よって BC=4tan<BAC=4• sin/BAC sin A COS BAC ←tan A = cos A 1 3 基 17 =4• 2 3 2√2 △ABC2について, ∠ABC2=90° のとき, BC=√2 で あるから、場合分けは次のようになる。 [1] / <BC<√2のとき B ZACB>90° &D, AABC. ◆厳密には, は鈍角三角形であり、 A C₁ H C₂ ∠ABC <90° ∠ACB <90° より,△ABC2 は鋭角三角形となる。 4 3 まり,それらは鋭角三角形と鈍角三角形である。 よって, <BC <√2 のとき,△ABC は二通りに決 (カ⑤) [2] BC=√2のとき B 三食 ∠ACB> 90° より △ABCL l は鈍角三角形であり、 A C₁ H C2 △ABC2 は ∠ABC2=90°の 直角三角形となる。 ZAC,B = ∠CBH+ ∠CHB = ∠CBH+90°>90° (三角形の外角の性質と, ∠CBH>0°であることを 用いた) のように示されるが, 左の ような図をかけば ∠ACB> 90°であること は明らかだろう。 よって, BC=√2 のとき, △ABCは二通りに決まり, それらは直角三角形と鈍角三角形である。 (キ⑦) [3] BC> √2 かつ BC≠4 の とき BC > √2 より △ABC2は B l CAH ◆図は4<BCの場合のも 4<BC のとき, 左から にC1, A, H, C2 と ∠ABCz > 90°の鈍角三角形 となる。 であ FAD また,BC≠4 のとき,AB=BC であるから, △ABC1 は 4 3 <BC<4のとき,∠ACB> 90°の鈍角三角形 nina-HA •4<BCのとき,∠CAB > 90°の鈍角三角形 となる。 DA BC4のとき,△ABCは二