質問すみません
例えば上向きを正にしているということは、上向きに引き上げてる?ということですか?

左の式はmgに-が付いていないので下向きが正なのでしょう。
なので、T>0なら-T<0なので上に引っ張ってることになります。T<0ならその逆。

右の式はmgに-が付いているので、上向が正なのでしょう。
なので、T>0なら上向に引っ張っています。T<0ならその逆。

どちらの式を使ってもT>0なら上に引っ張っているし、T<0なら下に引っ張っています。
このようにどちらの式を使っても同じことを意味することになります。
上に引き上げてるかどうかはTが正なのか負なのかで変わってきます。

回答がずれてしまっていたように思うので補足。
上向を正にしたら重力は-g(<0)になるので下に向かっていることになる。
下向きを正にしたら重力はg(>0)になるので下に向かっている。
どっちを正にしても正負で向きが表されるので現象自体が変わることはありません。