こんにちは。
look には「動詞」もありますから、She should look at my room. とも言えますが、
She should have a look at my room. には「a look」の "a" のニュアンスが強く加わります。
この "a" には「ちょっと」というニュアンスあり、「ちょっと見る」という意味で伝わります。

This train will soon be making a stop at Nagoya. （この列車はまもなく名古屋に（少しの間）停まります）
なども "... soon stopping at Nagoya" とはあまり聞きません。
make a brief stop at Nagoya とはっきり brief（時間が短い）という 形容詞をつけることもありますが、
ついていなくても「ちょっと」というニュアンスは変わりません。

もう一つ。 have a look の look は名詞なので形容詞をつけられるというメリットもあります。
She should have a close look at my room. （よく見る・接近して見る）

ちなみに、have a look at... はどちらかと言えばイギリス英語で、アメリカ人なら take a look at...
と have を使うところで take を使う人が多いように思います。

参考になればうれしいです。

have a look で見てみるという熟語になるらしいので