192 第6章 積分法 基礎問 106 面積(Ⅲ) 2つの曲線 y=x(x-1) ①, y=kx2 について、 次の問いに答えよ. (k>0)2 (1)この2つの曲線は異なる3点で交わることを示せ. (は)この2つの曲線で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなん 精講 の値を求めよ. (1)「異なる3点で交わる」 「①,②からyを消去した式が異なる3つの実数解をもつ」 実数解の個数だけであれば, IIB ベク 95 の手順でよいので しょうが,(2)で面積がテーマになっているので,出せるものなら,直接,解 を出しておいた方がよいでしょう. (2)問題文の通りに式をつくればよいのでしょうが,ポイントの考え方を最初 から使えるようになれば,少しですが,負担が軽くなります. 解答では,ポイントの考え方がでてくる過程がわかるようにかいてあります。 解答 (1) ①,②を連立して,yを消去すると, x(x-1)2=kx2 x{(x-1)2-kx}=0 Terex{x²-(k+2)x+1}=0 ここで,2-(k+2)x+1=0 ...... ③ の判別式をDとすると D=(k+2)-4=k2 +4k0 (k0 より) よって,③は異なる2つの実数解α,β (α <B) をもつ. 次に, x=0 は ③をみたさないので x=0 は③の解ではない. したがって, α≠0,β ¥0 よって,①,②は異なる3点で交わる. (2)解と係数の関係より a+β=k+2>0,aβ1>0 だから 19 よ

なk a, B>0 .. 0<a<B よって、図のように St, S2 を定めると s="(r'-(x+2)x²+x)dx =-f"{x³−(k+2)x²+x} dx Sa=- S=S2 だから, S-S2=0 √(x³-(k+2)x²+x)dx + √ { x³−(k+2) x² + x)dx=0 {x³-(k+2)x²+x} dx=0 193 112 S 0 α 1 B ポイント B (k+2) B2 -B3+ =0 もつ」 3 2 ので 唼,解 3β2-4(k+2)β+6=0 ...... ･･･ ④(β≠0 より) CE また,βは③の解だから, B2- (k+2)β+1=0 ......⑤ ④ ⑤×4より -β2+2=0 :.β=√2 (B>0より) 最初 これと, ⑤より k= 3√2- 3√2-4 ます。 105のポイント②にあるように「左から右に向かって」 積分するの で, 0,α,Bの大小を確定する必要があります。 ●ポイント 上下関係の入れかわる2つの曲線で囲まれた2つの部 分の面積が等しいとき 演習問題 106 左端から右端まで積分すれば値は 0 +0800- 第6章 π 0≦x≦ying で定められる図形をDとする. (1)=asinx と y=sin20<x<で交わるような定数 αの範囲を求めよ. (2)y=asinx が図形Dを面積の等しい2つの部分に分けるよう な定数αの値を求めよ.