20-0 以下で Xn, am を含む式はn = 1, 2,... で成り立つものと する. (1) Xn+1= 2xn+ 示し 2.xn Xn+1-√a≤ (xn-√a) a >√a (a>0) のとき,XnVaを を示せ. 〔名古屋大 〕 (2) a₁ = 2, an+1 = an +2 のとき,an>1を示し an+1 |an+1-√2|≤ √21|an - √2| を示せ. (3) 0 < a₁ ≤ 1 , an+1= 2 [徳島大〕 2am(1 - am) のとき, 0 < an≦1/12 an ≦ an+1 を示し lim an 848 = を示せ. 2 〔三重大〕 《方針》 次の原則 (例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 ⇒ 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです. Xn+1-Va= から 《 解答》(1) x1 > √a と 2xn xn><a= ⇒Xn+1>√a がいえるので、帰納法でxn>√(n=1,2, ...) がいえる. 次に③から xn2+a-2√axn=(xn-va)2 2xn Xn+1- √a= 1Xn-va 2 (xn−√a) Xn であり、ここで 0< Xn-√a =1- Xn Va xn ≤1 だから