問題文はこれだけでしょうか？

確率変数X, Tが独立なら、同時確率分布から具体的に条件付き確率密度関数を書き下すことができそうですが、これだけでは、そこまでのことが読み取れません。

独立とみなせるなら、f(x|t)を指数関数で書いて、部分積分で力業で解いていけばいいように思います。