8kを2以上の整数とする。 硬貨を繰り返し投げて, 表の出た回数がk回にな るか,あるいは,裏の出た回数がん回になった時点で終了する。 (1)k≦x≦2k-1 を満たす整数nに対して, ちょうどn回で終了する確率 pn を求めよ。 Pn+1 (2)k≦x≦2k-2 を満たす整数nに対して, を求めよ。 pn (3) を最大にするn を求めよ。 [06 名古屋大]

(通り) 等しいから 6C4=15 (通り) IATA , 0) , 0) MATS IN) 8 (1) ちょうどn回で終了するのは,次のどち らかの場合である。 TVE-TY=TA [1] 1回目から(n-1)回目までに表が (k-1) 回, 裏が (n-k) 回出て, n回目に表が出る。 [2] 1回目から (n-1) 回目までに裏が (k-1) 回, 表が (n-k) 回出て,回目に裏が出る。 [1], [2] が起こる確率はどちらも等しく k-1/1\n-k TMC(1/2)^(1/2)x1/12 n-1 k-1 区別でき える。 したがって 08 1\k-1/1\n-k n-1k-1 2 2 (2) け (2) を考え Pn+1 = (n−1)! 3 TH_TOHA 2"-1(k-1)!(n-k)! ar n! P"2"(k-1)!(n+1-k)!日つ 2"-1(k-1)!(n-k)! X- HO 0 OP HOC (n-1)! HD n = 2(n+1-k) ける分 (3) > P+1 1 とすると 401 HO n ->1 Pn 2(n+1-k) 分母を払ってn>2n+2-2k よって土 大 n<2k-2 TO△ を考え したがって, n<2k-2のとき pm<P+1 n=2k-2のときPn=P+1 ゆえに k <Pk+1<<P2k-2=P2k-1 の区別