参考・概略です

　a[1]＝1
　a[n+1]＝a[n]＋n²
　　より

　a[n　]＝a[n—1]＋(n－1)²
　a[n—1]＝a[n—2]＋(n－2)²
　a[n—2]＝a[n—3]＋(n－3)²
　・・・・・
　a[　3]＝a[　2]＋2²【＝6】
　a[　2]＝a[　1]＋1²【＝2】
　a[　1]＝1
　―――――――――――――――――――――――――
　a[n　]＝1＋{1²＋2²＋…＋(n－3)²＋(n－2)²＋(n－1)²}

　　　　　　 n-1
　　a[n]＝1＋Σ k²
　　　　　　 k=1

　　a[n]＝1＋(1/6){(n－1)}{(n－1)＋1}{2(n－1)＋1}

　　　　＝1＋(1/6)n(n－1)(2n－1)

　　　　＝(1/6){2n³－3n²＋n＋6}

　　　　＝(1/6)(n＋1)(2n²－5n＋6)
　―――――
　簡易確認
　　a[1]＝(1/6)(1＋1)(2・1²－5・1＋6)＝(1/6)(2)(3)＝1
　　a[2]＝(1/6)(1＋2)(2・2²－5・2＋6)＝(1/6)(3)(4)＝2
　　a[3]＝(1/6)(1＋3)(2・3²－5・3＋6)＝(1/6)(4)(9)＝6