247 次のような△ABCにおいて、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。 →教p.158 応用例題2 *(1) a=1+√3,b=√6c=2 *(3) 6=√2,c=√3-1,A=135° (4) α= (4)a=√26=2,A=30° (2)a=√66=2√3,c=3+√3 *(5) a=2√3,B=15°,C=45° (6) a=1+√3, A=150° B=15°

60- 245 △ABCに余弦定理 を使うと 82+62-42 [参考] A 正弦定理により 6 4 cos B = 2.8.6 よって sin C = 4 M 4 C (Bを求めた後, 正弦定理を用いる √6 sin 60° 2 sin C X sin 60° 2 √6 84 7 2.8.6 8 △ABM に余弦定理を使うと AM2=62+42-2・6・4･･ 2 √3 == × 1 √6 2 =10 であるから A+B+C=180°B=60° より C=45° AM > 0 であるから AM=√10 したがって (2) 余弦定理により 246 (1)が最大の辺であるから,Cが最大の角 である。 cos A = 余弦定理により 12+22-(√7)2 cos C= 2.1.2 よって, 最大の角の大きさは 2 1 2.1.2 2 C=120° (2) αが最大の辺であるから, Aが最大の角であ る。 余弦定理により 22+√6-√2)2-(2√2) 2 cos A = 2.2.√6-√2) 4(1-√3) 1-√3 4√6-√2) A=180°-(60°+45°) = 75° +°(2/3)2+(3+√3)2-(V6)2 22√3(3+√3) 12 + (12+6√3)-6 4√3(3+√3) 6(3+√3) √√3 4√3 (3+√3) よって A=30° cos B = = 2 (3+√3)2+(√6)2-(2√3) 2 2.(3+√3).√6 (12+6√3)+6-12 C=135°は不適 2/6(3+√3) 1-√√3 √2 (√3-1) 6(√3+1) 2√6.√3 (√3+1) √6-√2 (3-1) = V2 (√3-1) よって B=45° したがって 1 == √2 よって, 最大の角の大きさは A=135° 1 √2 C=180°- (30° + 45° = 105° 参考 (Aを求めた後, 正弦定理を用いる) 247 (1) 余弦定理により 22+(1+√3)2-√6) cos B= 2.2(1+√3) 4 + (4 + 2√3)-6 4(1+√3) 正弦定理により ✓6 2√3 sin 30° sin B よって sin B=- 2√3 x sin 30° √6 2(1+√3) = 4(1+√3) =√2×1/2 2 よって cos C = B=60° (1+√3)2 +(√6)2-22 2.(1+√3)・√6 (4+2√3) +6-4 2/6(1+√3) 2(√3+3) 2/6(1+√3) 2.v3(1+√3) ゆえに √2 B=45° または 135° B=45° のとき B=135° のとき C=180° (30°+45° = 105° C=180° (30°+135°) = 15° ここで、√62√33+√3より a <b <c であるから これを満たすのは A<B<C A=30° B=45°C=105° (3) 余弦定理により a2=(√2)2+(√31) 2 よって したがって 2/6(1+√3) 1 √2 C=45° A=180°-(60° + 45° = 75° 2.√2 (√3-1)・cos 135° =2+(4-2√3) -2.√2-(√3-1)-(-) a

=4 >0であるから 余弦定理により a=2 cos B=- (3-1)2 +22-(√)2 2-(3-1)-2 (4-2/3)+4-2 4 (√3-1) 2(3-√3) 4(√3-1) 2√3√3-1) 4 (√3-1) =13 2 解答編 -61 よって B=135° したがって C=180°- (30°+135°)= 15° 以上から c=√3+1. B=45°,C=105" またはc=√3-1. B=135°C=15 参考 (正弦定理を用いてから,cを求める) 正弦定理により √2 2 sin 30° sin B よって 2 sin B=- -X sin 30° 2 1 1 × 数学Ⅰ TRIAL A・B、練習問題 A+B+C=180°, A=135° より, 0° <B<45° であるから したがって B=30° (B=150° は不適) C=180°- (135° + 30°) = 15° C=180°- (135°+30°) = 15° よって B=30° したがって 正弦定理により 参考 (αを求めた後, 正弦定理を用いる) 2 √2 sin 135° sin B /2 よって sin B = x sin 135° 2 = /2 2 1 1 √2 2 A+B+C=180° A=30°より, 0°<B<150°で あるから B=45° 135° [1] B=45° のとき C=180°- (30° + 45°) = 105° このとき,Cが最大の角となるから, cは最大 の辺であり c=√3+1 [2] B=135° のとき C=180°- (30°+135°)= 15° このとき, Cが最小の角となるから, cは最小 この辺であり C=√3-1 c=√3+1, B=45°C=105° 以上から (5) A=180°- (15°+45°)=120° またはc=√3-1,B=135° C = 15° 正弦定理により 2√3 C sin 120° sin 45° (4) 余弦定理により よって c=2√3 x sin45° x 1 sin 120° (√2)2=22+c2-22·c・cos30° 整理すると これを解いて c2-2√3c+2=0 C=√3±1 =2√3×√ 2 X =2√2 √3 余弦定理により (2√3)²=62+(2√22-2.6.2√/2cos120° 2.(√3+1)√2 整理すると 62+2√26-40 これを解いて b=-√2+√6 b0 であるから b=√6-√2 [1] c=√3+1のとき 余弦定理により cos B = よって したがって == (√3+1)+(√2)2-22 (4+2√3) +2 -4 2/2(√3+1) 2(√3+1) 2/2(√3+1) √2 B=45° [2]c=√3-1のとき 余弦定理により (√3-1)+(√2)2-22 (6) C=180°- (150°+15°)= 15° B=C=15° より △ABCは二等辺三角形である から b=c 余弦定理により (1+√3)²=b2+c2-2·b・ccos 150° C=180°- (30°+45°) = 105° が成り立つから 4+2√3 = b²+62-2·6.6.(√) 整理すると (2+√3)62=2(2+√3) 2.(√3-1)√2 (4-2√3)+2-4 2(2+√3) よって 62 -=2 2+√3 b0 であるから b=√√2 2√2 (√3-1) -2(√3-1) 2√2 (√3-1) == したがって b=√2,c=√2 cos B = =