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x=tanθとおくと、dx/dθ=1/cos²θ
∫1/(1+x²)dx
=∫1/(1+tan²θ)/cos²θdθ
=∫1/(cos²θ+sin²θ)dθ
=∫dθ
=θ+C … 定積分なら、ここで範囲を入れます(高校数学範囲)
=tan⁻¹x+C
----------------
∫x²/(1+x²)dx
=∫1-1/(1+x²)dx
=x－tan⁻¹x+C
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一応出しときますね