基本 例題 30 線分の垂直に関する証明 00000 正三角形でない鋭角三角形ABC の外心を0, 重心をGとし, 線分 OGのG を越える延長上にOH=3OG となる点Hをとる。5人 このとき, AH⊥BC, BHICA, CHIAB であることを証明せよ。 CHART O OLUTION 垂直積利用図 p.352 基本事項 3, p.370 基本事項] 基本 61 AH・BC=0, BH・CA=0, CHAB=0 を示す。MOITO また,外心の性質 OA=OB=OC や, OH, OG なども出てくるから,点0を始 点とする位置ベクトルで考える。 04=α, OB=6, OC=cとする。 0は△ABCの外心であるから OA=OB=OC よって|a|=||=|| A a G ◆外心は, △ABCの外接 0 ●H Gは△ABC の重心であるから b 10 C B C a + b + c OG= 円の中心であるから, OA, OB OC の長さは すべて外接円の半径と 等しい。 381 位置ベクトル ベクトルと図形 ゆえに AH OH OA=3OG-DA= (a+6+2)a=6+2 T AH BC=(b+c) · (c−b)=|c|²-| b|2=0 AH=0, BC ±0 であるから AHBČ したがって AHBC 更に BH=OH-OB=30G-OB = (a +6+c)=a+c CH-OH-OC-30G-OC=(a+b+c)-c=a+b A BH CA=(a+c) (a–c)=|a²-|c²=0 B=0, CA = 0, CH≠0, AB ¥0 であるから CH・AB=(a+b)・(-a)=|6-la=0 よって BHICA, CH⊥AB BHICA, CH⊥AB C <<-OH=30G 1=161 AH = 0 のとき、 ∠A=90° (直角三角形) となり、不適 ■||=|| ||=|a| inf. この例題の点Hは △ABCの垂心となる。 外心, 重心、垂心を通る直線(この問題の直線OH) をオイラー線という。なお,正三角 形の外心、内心、重心, 垂心は一致するため, 正三角形ではオイラー線は定義できない。 PRACTICE... 303 三角形 OAB において, OA=6,OB=5,AB=4 である。 辺OA を5:3 @ f)に内分する点をDとし,辺BCと辺 に答えよ。