基本 例題 186 曲線の漸近線 曲線 (1) y= (2)y=2x+√x-1 x2-4 指針 前ページの参考事項 ①~③を参照。 次の3パターンに大別される。 ①x軸に平行な漸近線 limy または limy が有限確定値かどうかに注目。 の漸近線の方程式を求めよ。 p.314 参考事項 ①〜③ 315 ②x軸に垂直な漸近線 またはy → -∞ となるxの値に注目。 軸に平行でも垂直でもない漸近線 181 X (有限確定値)なら, 直線 y=ax+bが漸近線。 lim2=α (有限確定値) lim(y-ax)=b 6 2 (x→∞をx→∞とした場合についても同様に調べる。) ②のタイプの漸近線は、分母=0 となるxに注目して判断。また,分母の次数> 分子の次数となるように式を変形すると、③のタイプの漸近線が見えてくる。 (2)式の形に注目しても,①,②のタイプの漸近線はなさそう。しかし,③のタイプの漸 近線が潜んでいることもあるから,で示した極限を調べる方法で,漸近線を求める。 解答 x3 (1)y= 4x =x+ x2-4 x2-4 lim y = ∞, 2±0 x-2±0 lim=∞ (複号同順) 定義域は,x2-4≠0から xキ±2 漸近線 (つまり極限)を調べ 4 4x また lim (y-x)=lim x lim = 0 →∞ xx24 x→±∞ 4 1-- x² 以上から,漸近線の方程式は x=±2, y=x (2) 定義域は,x2-1≧0 から x≤-1, 1≤x limy=± ∞ となる定数の値はないから, x軸に垂直な漸 x-p 近線はない。 lim=lim2+ √x-1)=lim(2+ X-00 X x→∞ x lim(y-3x)=lim(√x2-1-x)=lim 1100 1 =3から 2 x² -1 -= 0 x→∞ x→∞ √x2-1+x よって、直線 y=3x は漸近線である。 x-gx lim Y = lim2+ 811X x-1)= = lim (2- 1 x 8 やすくするために, 分母の次数分子の次数 の形に変形 (分数式では, このような式変形が有効)。 (1)x-2y4 3√3- y=x x2+0 -2 121 -2√3 0 2√3 xx-24 -3√3 x=2 -t--2- 1-2- (*) x-8 であるから、 x<0として考えることに注 (2) 意する。つまりxxx ya =1(+) から 2 t -y=3x x lim(y-x)=lim(x+√x2-1)=lim X-8 x→∞ よって、 直線 y=xは漸近線である。 以上から、漸近線の方程式は 1 =0 xx2-1 y=3x,y=x -1 -2 ★式を求めよ。