15 5 F 図形の性質の証明 応用 例題 2 三角形の頂点に向かい合う辺を,その頂点の 対辺という。 △ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長に 下ろした垂線 AL,BM, CN は, 1点で交わることを証明せよ。 解説 平面上に座標軸を適当に定めて、図形の関係を式で表す。 証明 直線 BC をx軸に,垂線AL をy y 10 軸にとって,△ABC の各頂点の 座標を,それぞれ次のようにおく。 A(0, a), B(b, 0), C(c, 0) ただし, α≠0 である。 a A H M C L b = 0 または c = 0 のときは, b OL x △ABC は直角三角形となり、3本の垂線は,原点で交わる。 b0 かつ c≠0のとき、直線ABの傾きは 垂線 CN の方程式は a であるから, b o a y= =1/(x-c) すなわち y= b bc x- a a 直線AC の傾きは-a C= 直線ACの傾きは であるから,垂線BM の方程式は y=(x-b) すなわち y= bc x- a a よって, 2 直線 CN, BM は,ともに点H(0,-bc)を通り, Hはy軸上, すなわち直線AL上にある。 したがって, 3本の垂線 AL, BM, CNは1点で交わる。 終 無 1. 2. 5 3 10 15