異なる2点の時の符号の向きはわかるんですけどその時に判別式で解くのではなくy座標で求められのは何故ですか？

判別式の解き方とy座標の解き方は別です。
左が判別式で右がy座標のを使った式です。
頂点の位置によって、x軸との交点の数が決まります。（1枚目の写真）
それによって判別式以外のy座標を用いた解法も存在するのです。
今回の写真で線引いて少し強調しましたが傍線部の言い換えをするとy座標で求められる理由がわかるかと思います。
１回目の説明に不足があり申し訳ないです

どちらの方法でも答えは同じってことですよね？

そうです！

ありがとうございます！