実教出版 289 ある正の整数 n に, 27 を加えても83を加えても平方数になる。 このときの値を 求めよ。 ヒント 289 n+27=x2, n+83=y' (x,yは正の整数)とおき, y-x² を計算する。

$289 正の整数 n に 27 を加えても83を加えても平方数になるか ら、 ある正の整数x, y を用いて n+27=x,n+83=y² と表される。 ここでy'-x'=(n+83)-(n+27)=56より (y+x)(y-x)=56 x, y は正の整数であるから, y+xは2以上の整数, y-x は整数であり,y+x>y-x である。 またy+x=(y-x)+2x であるから, y+xとy-xの偶奇は 一致し,積が56で偶数であるからともに偶数である。 よって (y+x, y-x) = (14, 4), (28,2) DžK (x, y)=(5, 9), (13, 15) (x,y)=(59) のとき n=5²-27=-2 これはn>0を満たさないので、不適。 (x,y)=(13.15) のとき n=132-27=142 これはn>0を満たす。 以上より, 求めるnの値は n=142 1 8>> の を消去すると, 286 (1) の形 y+x>0 よりy-x>0 ← 2x は偶数であるから y+xが偶数ならばy-x も偶数 y+x が奇数ならばy-xも奇数 ANG - dast