参考・概略です

もとの数列が[初項3、公比(－2)]の等比数列なので
　ａ₁＝3，ａ₂＝－6，ａ₃＝12，ａ₄＝－24，ａ₅＝48，ａ₆＝－96，･･･

　　
(4) ａ₁＋ａ₃＋ａ₅＋･･･

　　＝3＋12＋48＋･･･　

　　＝3＋3･4¹＋3･4²＋･･･

　　初項3、公比4である等比数列の和を考えて

　　　3{4ⁿー1}/{4－1}＝4ⁿ－1

(5) (1/ａ₁)＋(1/ａ₂)＋(1/ａ₃)＋･･･

　　＝(1/3)＋(－1/6)＋(1･12)＋･･･

　　＝(1/3)＋(1/3)･(－1/2)¹＋(1/3)･(－1/2)²＋・・・

　　初項(1/3)，公比(－1/2)である等比数列の和を考え

　　　(1/3)･{1－(－1/2)ⁿ}/{1ー(－1/2)}＝(2/9){1－(－1/2)ⁿ}

(6) |ａ₁|＋|ａ₂|＋|ａ₃|＋･･･

　　＝3＋6＋12＋･･･

　　＝3＋3･2¹＋3･2²＋･･･

　　初項3，公比2　である等比数列の和を考え

　　　3{3ⁿ－1}/{3－1}＝(3/2){3ⁿ－1}