23. 三角形の外心と辺に関する対称点が作る三角形の証明問題 [サクシード数学A 問題353] |鋭角三角形 ABCの外心をOとし, 3辺BC, CA, AB に関して 0 と対称な点をそれぞ れ A', B', '′ とするとき,次のことを証明せよ。 (1) △ABC≡△A'B'C' (2) Oは△AB'C' の垂心 解答 (1) 略 (2) (解説) (1)3辺BC, CA, ABの中点を, それぞれD,E,F とする。 △ABCにおいて, 中点連結定理により 2EF=BC また, △OB'C' において, E, F はそれぞれ辺 OB', OC' の中点であるから 2EF=B'C' BC=B'C' ① ② から 同様にして, CA=C'A', AB = A 'B' が示される。 したがって △ABC≡△A'B'C' (2) 中点連結定理により BC //EF, B'C'//EF よって BC//B'C' 0 と A' は BCに関して対称であるから OA'LBC よって, ③ から OA'LB'C' 同様にして, OB'C'A', OC'′ ⊥A 'B' が示される。 したがって, 0 は A'B'C' の垂心である。 B I A' E C B'