太郎さんと花子さんはそれぞれ,何も書いていない6枚のカードを持っている。 太郎さんは、 自分が持っ 標準 12分 数の和が30 になるようにする。 二人は、用意したカードを使って、 次のルールに従ってゲームをする。 に一つずつ正の奇数を書く。 ただし, カードに数を書く際には、 自分が持っている6枚のカードに書かれた ているカードのそれぞれに一つずつ0以上の偶数を書き, 花子さんは、 自分が持っているカードのそれぞれ ルール それぞれが、自分の持っている6枚のカードから1枚を無作為に選び、選んだカードに書かれたも を自分の得点とする。このとき、得点の大きい方を勝者とする。 はじめ,太郎さんと花子さんは6枚のカードに次のように数を書いた。 太郎さん 2 ④4 6 8 10 花子さん: 15 555 19 + 3 33 35 (1) 太郎さんが 6 のカードで花子さんに勝つ確率は (2) 太郎さんが勝つ確率をPr, 花子さんが勝つ確率をPとすると はまるものを次の⑩~②のうちから一つ選べ。 ⑩Pr<PH 私が 1 3 57 a1+a2+a3+a+as = オ ア a₁ +3a2+5a3+7a4+9a5 = カキ である。 0 PT>PH @ PT=PH*600* 花子さんは,カードに書く数を変更することで,自分が勝つ確率PHを大きくしようと考えた。まず、カ ードに書く数の候補を1,3,5,7,9の5種類のみとして確率を考えたのが、次の花子さんのノートである。 ・花子さんのノート 選んだとき 23 77のカードを選んだとき これらを用いると,私が勝つ確率P を求めることができる。 イウ LATTEOT である。 AF FS 944 9 のカードをそれぞれ ②1枚 22 枚, α3枚 4枚 α5 枚持っているとすると a2 解答・解説 JO134 300 私が勝つ確率は,私が①のカードを選んだとき / 2 3のカードを選んだとき 25のカードを H である。 のカードを選んだとき 3 オ カキに当てはまる数を求めよ。 4) 花子さんのノートを参考に,正しいといえるものを、次の⑩~③のうちから二つ選べ。 ただし,解答 順序は問わない。 ク ケ ⑩ 花子さんがカードに書く数の最大値を7とすると、常にPH < 1 である。 ① 花子さんがカードに書く数の最大値を9とすると、常にPH=1/2である。 オカキクケ 2 ②花子さんがカードに書く数の最大値を 11 とすると, PH> / となることがある。 ③ 花子さんがカードに書く数の最大値を13 とすると、常にPH</である。 2 に当て

42 (2) 太郎さんが6以外のカー 太郎さんが のカードで花子さんに勝つことはない。 太郎さんが 2 または 4 のカードで勝つのは、花子さんが 1 のカードを選 ぶときで、その確率は 2.11 6 6 18 太郎さんが⑥または8のカードで勝つのは、花子さんが 1 または5のカ ードを選ぶときで、その確率は 2 5 5 6 6 18 太郎さんが10のカードを選んだ場合は必ず花子さんに勝つから、その確率は 1/1.1 = 1/1/0 これらは排反であるから,太郎さんが花子さんに勝つ確率 Pr は Pr=1 5 1_1 + また,引き分けになることはない。よって, Pr = PH (②) である。 18 18 6 2 (3) 花子さんが135⑤7 a4枚,as 枚持っているとする。 花子さんが持っているカードは全部で6枚であ るから a+az+ax+a+αs = 6 答 また,カードに書かれた数の和が30であるから a₁ +3a2+5a3+7a4+9a5=30 (4) 花子さんが勝つ確率PHは a₁ 1 PH=² / a2 2 ag + 1 36 ここで(①+②) ÷ 2 より 常にPH= a1 + 2a2+3a3+4a4+5a5= 18 PH= 6 6 6 6 6 6 (a+2a2+3a3 +404 +5as) $ となるから, a1,a2,a3, ay, as によらずPH=1/12/2 である。 ⑩.①; 花子さんがカードに書く数の最大値を9以下とすると,上で調べたとおり。 のカードをそれぞれ41枚, a2枚,03枚, =1/12 である。よっては正しく,⑩は正しくない。 ai 6 3 as 4 45 5 + + 6 6 6 ②, ③; 花子さんがカードに書く数の候補を 1, 3,5, ***, 13 とし 11 13 の カードをそれぞれα6枚 7枚持っているとすると a1+a2+ax+a+as+a+a=6 a1+3a2+5a3+7a4+9a5+11a6+13a7= 30 . 94 である。 花子さんが 11 13 を選んだ場合は必ず太郎さんに勝つから,花子さんが勝っ 確率PHは 1 ar 2 + 6 6 6 + agh 3 6 6 + as 4 az + 6 6 6 . 1 ( 41 +2a2+3a3+4a+5a5+6a6+6a7) 36 5 6 6-70-SAA + astaz. 6 ・1 ◆排反事象の確率 ←花子さんが勝つとい 象は、太郎さんが いう事象の余事象 す で ~13. のカードを持 数は,それぞ のノートのと lonl

ここで,(③+④) ÷ 2 より a₁ + 2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=18 となるから 1 1 a7 (18— - PH = 3/6 (18-a7) = 2 36 である。よって、③は正しく, ② は正しくない。 以上より, 正しいといえるものは ①,③。 答