極論を言えば、気体の状態方程式というのを勉強すれば機械的に理解できます。
PV＝nRT(P＝圧力、V＝体積、n＝入っている気体の量、R＝定数、T＝温度)
Pが下がれば、Vは上がる(反比例の関係)、Pが上がればTが上がる(比例の関係)というふうです。

しかし、中学生にわかりやすく説明すると以下のようです。
まず、ピストンをひくという動作についてですが、これは、ピストンの中の体積変化を考えるというよりかは、圧力の変化とみると良いでしょう。これは、風船を考えてみると良いかもしれません。風船に圧力を加える(風船を潰そうとする)と、加えれば加えるほど、潰せば潰すほど中からの反発が強くなります。つまり、中からの圧力が強い＝内部の圧力が高まったということです。ピストンでも同じようなことが言えて、ピストンを押せば気体が密集し、圧力が増す。逆に、引けば密集しなくなり、圧力が低くなるということが起きます。すると、ピストンを押し込んだところから引いた時を考えればわかりやすいですが、ピストンを引くと体積は大きくなります。つまり、空気は膨張します。
気温に関しては半分正解していて、実は空気(や、分子)は、熱運動といって、常に振動しています。それが密集すると、ぶつかり合いが激しくなって熱が発生して、気温が高くなります。イメージは人間で考えてもらったら良いですが、「おしくらまんじゅう」でいいのではないでしょうか。人と人とがぶつかり合って熱が発生し、温かくなりますよね。満員電車が暑く感じたりするのもイメージとしてはいいのかもしれません。ぶつかり合うほどエネルギーの発散つまり熱の放出が発生するというのを覚えれば、ピストンを引けば密集が解消されて、ぶつかる機会が減り、温度が下がるという考えが自然とわかるでしょう。