[整式の除法, 恒等式] 11. 整式P(x)=x^+ax+bx+17はx+3x+4で割 ると余りが-2x+1になるとする. このとき a=ア,b=イである.また P(-3+√7i) の値はP (-3+√7₂). 2 2 である。 ただし, iは虚数単位とする. = ウ (20 関西学院大 文系)

ろう 11. あれこれ策を弄するより、 実際に割り算をして, 余りを a, b で表すのが早いでしょう。 後半は,当然, 次数下げです. 実は前半の割り算が使えます. P(x)=x^+ax2+bx+17 をェ+3x+4で割ると ( 筆算は省略), P(x)=(x²+3x+4)(x²-3x+a+5) +(b-3a-3)x-4a-3 いま, 余りが-2x+1...... ② なので, b-3a-3=-2, -4a-3=1∴. a = -1,b=-2 さて, -3+√7i 2 =α とおくと, (2x+3)=-7 ∴ α²+3α+4=0 であるから, ①,②より, P(α) =0-2a+1=4-√7i