仮にthey use だとしたらこれが主語動詞になりますけど、useは他動詞だから目的語が必要ですね。そうするとincreasesは動詞でも名詞でも使うから、このincreasesは名詞として目的語になると考えるのかな…

でもそうなると、they use increases は意味がわからない文なのでおかしいし、動詞と目的語のあいだにこんなに長いMが入るのはおかしい、ということになります。

正しい解釈はこうです。
their use ってなってるから、useは名詞だとわかります。
their useはuse of them と書いても同じですよね。
直訳するなら「それらの使用」です。

useが動詞の場合は他動詞だから、use of themは、
名詞useに他動詞の意味を読み取って、
ofは目的格のof
themは、useが動詞だとしたら、目的語になるような意味関係になる　とわかります。
だから「それらを使うこと」と訳せるし、それを受動態にして「それらが使われること」と訳しても良いです。
だから模範解答の訳は「使われること」となっています。

「それら」とは何かというと
theirとかthemが指すものを探せば良いから、文頭のthese languagesだとわかります。