*268 nは任意の自然数, また, k=1, 2, ......, n について ak は 0≦a≦kを 満たす整数である。 9 (1) 数学的帰納法により、 次の等式を示せ。 1 ·1! + 2・2! + ......+n.n!=(n+1)!-1 問題 (2) 2015=a・1!+α22!+......+ann! が成り立っているとき, n を求めよ。 ただし, an≠0 とする。 (3) (2)等式を成立させる a1, a2, ......, an を求めよ。 [15 早稲田大・政治経済〕 n-1)であり、a≠0 より an ≧1 であるから, ③ の 解答 I/C, ak ≤U|R=1, 2, 右辺は aｪ・1! + az･2!+......+a.n!≧a„・n!≧n! ゆえに, ③ から 2015≧n! ここで, 6!=720<2015,7!=5040>2015 であるから したがって, ④,⑤から n=6 ● (3) (2)から 2015=1!.a+ 2! a2+3! as + 4! a4 +5! ・a5 +6! ・a6 0≦ak<k+1であることに注意すると [1] 2015 を 2で割った商は1007, 余りは1であるから n≤6 a₁ = 1 [2] 1007を3で割った商は335,余りは2であるから a2=2 [3] 335を4で割った商は 83, 余りは3であるから [4] 83 を5で割った商は16, 余りは3であるから a3=3 a4=3 [5] 16を6で割った商は2, 余りは4であるから a5=4,a6=2 したがって a=1, a2=2,a3=3, a4=3, a5=4,a6=2 2) 2015 3 1007 余り 1 43352 5833 6) 16 3 2余り4