欲しがっていたのは大過去で買ってあげたのは過去だからhaving＋過去分詞なのかな？と思ったのですが…
→　確かに、そのように考えるのはごく普通だと思いますが、すると疑問が色々湧いてきます。
ということは、私が人形を買った時には、りさは人形を欲しいという気持ちは、もうなかった(完了)のかな？
でも、完了形には完了、継続、経験があるのだから、りさの気持ちは継続していたと考えることができるのでは？

どちらも可能だと思います。
① Risa wanting a doll, I bought one for her. ＝ As Risa wanted a doll, I bought one for her.
りさは人形を欲しがっていたので、私は彼女に(人形を)ひとつ買ってあげた。
※りさが人形を欲しがっていたので、すぐに買ったというイメージ
② Risa having wanted a doll, I bought one for her. ＝ As Risa had wanted a doll, I bought one for her.
りさはずっと人形を欲しがっていたので、私は彼女に(人形を)ひとつ買ってあげた。
※りさがずっと長い期間人形を欲しがっていたので、その熱意に応えて買ったというイメージ

参考にしてください。