246 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。 -5, = * (1) nが自然数のとき 12+22+3°+..+n< 2n>3n+1 数のとき (n+1)3 3

2+1.1.3.5 (2k-1)2k+1) よって,n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1] [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ｡ 2)E= 246 (1) 12+2+32+ ......+n²< 2411A [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺= (n+1) ³ (+3 3+ SOI+...... ① とする。 (k+2)3 3 よって, n=1のとき, ① は成り立つ [2] n=kのとき ① が成り立つ, すなわち すなわち 12 + 22 + 32 + ......+k(k+1)= k² <- 3 23 = 3 8 = 33 と仮定する。 n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると, eye ②から 3k2 + 9k + 7 3 4 =k+=> 0 (k+2) ³ (k+1)³ 3 L R -{12+22+ ….…….+k^+(k + 1)2} ② @A= [S] [1] - (k+1) ² -(k2+2k+1) すなわ よって [1], [2] = て ① は (3) (1+h [1] _n= ① の ( すなわ よって [2] k≧ すなわ と仮定 n=k- ②から (1 =(1 >(1 = hl =h. すなわ よって [1], [2] が 然数nに (I FUL