2 EX n を 1 以上の整数とするとき,次の問いに答えよ。 ⑨49 (1) が有理数ならば, nは整数であることを示せ。 (3) +1 - nは無理数であることを示せ。 (2) n √n+1 がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。 (1) √n が有理数であるとすると √n=R 9 TAMAN25 (p,q は互いに素である正の整数) と表される。 このとき,g=1であることを示す。 ① から,√ng=pであり,この両辺を2乗すると ① ng²=p2....... ② pとg は互いに素であるから,p'と'も互いに素である。 ② からかと」の最大公約数は 2 である。 よって, 'と q2が互いに素であることから ²=1 すなわち g=1 ゆえに、①からn=pであり, nは整数である。 以上からが有理数ならば, nは整数である。 はは有理数である れは (2) の結果 って、n+1 x+y <√n>0<h とgは整 √2 の小数 く「正の整数 る｡ こで、1<√ したがって =aか れを①に って -x+y, x これを解い ←ng² 数は q である。 ← √n=pから 正の整数である