問 252 第8章 ベクトル 163 四面体 (I) 四面体OABC において, ACの中点をP, PBの中点をQとし CQ の延長と AB との交点をRとする. (1) OA=d,OB=1, OC = c とするとき, OQ を a,b,c を用 いて表せ. (2) AR: RB, CQ QR を求めよ. 精講 空間では平面と異なり,基本になるベクトルが3つ必要です(ただ し,この3つのベクトルは①ではなく,同一平面上にないベクトル です).しかし,分点や重心に関する公式などはまったく同じです。 また、空間図形を扱う上でのキーポイントは, 空間といえども、どこかで切り出せば平面になる ということです。 解答 (1) OQ=(OB+OP) ², OP=1/12 (OA+OC) を代入して, OQ=/OB+1(OA+OC) = 1/-ä + 1/1/16 + 1/ c b (2) OR = OC+sCQ と表せて CQ=OQ-OC=a+16-3-2 OR=c+s ( 1 à + 1/ 6-3 c) a S → 3s =a+2 6+ (1-³) ここで, ORは△OAB上のベクトルだから, この係数 = 0 P A Rは直線CQ 上 ポイント B R

3 1-³s=0 よって, OR=- 1 OR=a+6=0A+206 AR: RB=2:1 ‡†, OR=OC+³ CQ £½ CR=CQ 3 :: CQ: QR=3:1 3 :. 4CQ=CA+2CB 「ポイント (別解) (2) (要求は△ABC上の点に関するものだから......) (1)より,40Q=OA+2OB+OC :: 4(CQ-CỎ) 3 =CA-CO+2(CB-CO)-CO CQ=¹ CA+CB IT, CR=#CQ-CA+2/CB 3点A, R, B は一直線上にあるので, 4/4/+2/2 = 1 k, 2k -+- 2=1/3 k 2k 分点公式の形 となり, P £ ₂, CR=CA+CB), AR:RB=2:1 3 ‡t, CR=CQ £Y, CQ: QR=3:1 R |140 II 253 B 空間といえども,ある平面で切って考えれば平面の考 え方が通用する