基本 例題 156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx)" のとき, 等式y" +2e-x=0を証明せよ。 (2) y=euxsinx に対して, y" = ay + by' となるような定数a,bの値を求めよ 10) [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155 指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1) y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,e-xで表すには、等式 elogp=pを利用する。 (2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 解答 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' 1+cosx よって よって y'=2･ y" == 2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)} +(1+cos x)² x£)aies 2 1+cosx 2(1+cosx) (1+cosx) また,=log(1+cosx) であるから 2 ゆえに 2e-2=2 y 1+cos x π 2 e2 y"+2e=¾=—— 2 また, x= 39 てもこれを解いて == 1+cos x 2sinx 1+cosx y"=ay+by' に ①, ② を代入して e2x ...... を代入して +A + (2)y'=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx) =e2x(3sinx+4cosx) ① ゆえに ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =`(²x) =e2x{(a+26)sinx+bcosx} ež=1+cos x 2 1+cos x ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して 3e=e" (a+26) =0 【logMk=klogM なお,-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 [参考 (2) のy"=ay+by' ように、未知の関数の導 を含む等式を微分方程式 (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ いう(詳しくは p.473 参照 4=b ③が恒等式③に ◄sin²x+cos²x=1 CHURO530 11 [elogp=を利用すると alog(1+cosx)=1+cosx logze REC (e²)' (2 sinx+cos x) +ex (2 sinx+cos.x)' 2 を代入しても成り a=-5, b=4 このとき (③の右辺)=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。 したがって a=-5, 6=4