解説には、定義域から中央の値を求めているんですけど、どうしてこれを求めるんですか？

グラフはかけましたでしょうか。
今回のように下に凸の放物線の場合、最大値は定義域端のどちらかになるのはわかりますか？

また、放物線の形はその放物線の軸に対して線対称になることは認識していますか？

わかります🙆中央値の軸に対して線対称ってことですよね？

最大値は定義域端のどちらかになるのはわかりますか？←(1)は先に聞いたこっちのほうが重要ですがわかっている前提で進めます。
ではaの大きさによって最大値が変わることはわかりますか？左端は固定されているけど、右端はaとなっているためです。

(2)の最小値は軸の位置まではxの値を増やしてもf(x)は減っていく単調減少です。aが軸の位置までならf(t)が最小値になります。

aの値が軸の位置を超えると軸の位置を超えるとf(x)の値は増え続けます。このエリアを単調増加といいますがこのとき最小値が軸の位置で固定されて変わりません。

この考えた方で解けるはずですか、おそらく解答は違う書き方をしていると思います。
定義域の中央値を出している理由はこの方程式が中央値の左にあるか右にあるかを確認するためです。

方程式の軸の位置が定義域の中央値より左にあれば、右にグラフが伸びているのでf(a)が最大値になります。
逆に右にあればグラフは左に伸びているので左端のf(0)が最大値になります。

ありがとうございます！！理解出来ました！！なんか1番上のしかベストアンサーに出来ないので、1番上のをベストアンサーにしておきますね🫡